Обсуждение, решение проблем (и сами проблемы) и дополнения к нему!
Порядок рассмотрения проблем с компонентом будут рассматриваться при правильном описании проблемы:
1. Версия Joomla
2. Версия Jomsocial
3. Инфо о других установленных компонентах.

1) Joomla 1.5.14
2) JomSocial 1.5.248
3) MyBlog, JoomlaComment

Приглашения в группу не приходят никуда — ни в личку, ни в приложения. Подобную проблему встречал неоднократно на форумах по Жумле, но решения — нигде. Или у кого-то все-таки работает?

Надо включить Email processing on page load в настройках компонента!
И поставить cron задачу в настройках сервера!!!
Подробнее здесь, но на английском http://www.jomsocial.com/docs/Cron_Setup!
Мне помогла команда:
wget -O /dev/null «http://ваш.домен/index.php?option=com_community&task=cron» > /dev/null

Спасибо!
Но я так понимаю, после этого будут приходить письма на почту с уведомления, а в рамках системы не будут? Ведь приглашения в друзья нормально приходят, проблема только с группами.

Да, Вы правы! Но с другой стороны, уведомления не забивают сервер!